Cấu trúc toán học qua các bài toán - Phần 1

Bàn về Cấu trúc số

Một cách sơ bộ, chúng ta đều hiểu rằng, việc phát minh ra hệ thống số (số tự nhiên, phân số - số hữu tỉ, số thực, số phức, hay là việc phân loại số đại số, số siêu việt, ...) là một trong những thành tựu quan trọng nhất của khoa học. Hồi còn học phổ thông, tôi thường hay ngẫm nghĩ về cấu trúc số trong các bài toán phổ thông để định hướng lời giải, đặc biệt là các bài toán được giải theo phương pháp Đặt ẩn số phụ.

Bài toán 01 : GPT sqrt(1 + sqrt(1-x^2)) = x(1 + 2.sqrt(1-x^2))

Nhận xét

- Bài toán này về cấu trúc số, chúng ta cần để ý 2 dạng cấu trúc đặc biệt là căn bậc 2 và căn bậc 4, vì nó có các hàm sqrt, và sqrt(sqrt). 

- Lại để ý, nếu bài toán này có nghiệm, nghiệm phải là các số dạng số đại số, dạng căn bậc 1, căn bậc 2, hoặc căn bậc 4, chứ không thể là căn bậc khác. Như vậy ta cứ để ý và khử căn bậc 4 là lẹ nhất.

- Khử căn thức, đặt a^2 = 1-x^2, dễ thấy 0 <= a <= 1. Ta có sqrt(1 + |a|) = x(1 + 2|a|).

- Khử căn thức, đặt tiếp b^2 = 1 + |a| => |a| = b^2 - 1, ta có |b| = x + 2x(b^2 - 1) = 2b^2x - x = x(2.b^2 - 1) => x = 2|b| - 1/|b|.

- xét hàm f(t) = 2t - 1/t, t >= 1. Hàm giảm, trong khi f(t) = t là hàm tăng, suy ra pt có nghiệm duy nhất t = 1/2.

Bài này thì hơi dài dòng, nhưng quy trình khử căn thức như vậy là dễ hiểu.